Теорема гаусса. Московский государственный университет печати Основная теорема гаусса

Доказательство теоремы проведем в три этапа.

1. Начнем с вычисления потока электрического поля одного точечного заряда q (рис. ). В простейшем случае, когда поверхность интегрирования S является сферой, а заряд находится в её центре, справедливость теоремы Гаусса практически очевидна. На поверхности сферы напряженность электрического поля

E → = q r → ∕ r 3

постоянна по величине и всюду направлена по нормали к поверхности, так что поток электрического поля просто равен произведению E = q ∕ r 2 на площадь сферы S = 4 π r 2 . Следовательно, N = 4 π q . Этот результат не зависит от формы поверхности, окружающей заряд. Чтобы доказать это, выделим произвольную площадку поверхности достаточно малого размера с установленным на ней направлением внешней нормали n → . На рис. показан один такой сегмент преувеличенно большого (для наглядности) размера.

Поток вектора E → через эту площадку равен d N = E → ⋅ d S → = E cos θ d S ,

где θ — угол между направлением E → и внешней нормалью n → к площадке d S . Так как E = q ∕ r 2 , а d S cos θ ∕ r 2 по абсолютной величине есть элемент телесного угла d Ω = d S ∣ cos θ ∣ ∕ r 2 , под которым видна площадка d S из точки расположения заряда,

D N = ± q d Ω .

где знаки плюс и минус отвечают знаку cos θ , а именно: следует взять знак плюс, если вектор E → составляет острый угол с направлением внешней нормали n → , и знак минус в противном случае.

2. Теперь рассмотрим конечную поверхность S , охватывающую некоторый выделенный объём V . По отношению к этому объёму всегда можно определить, какое из двух противоположных направлений нормали к любому элементу поверхности S следует считать внешним. Внешняя нормаль направлена из объёма V наружу. Суммируя по сегментам, с точностью до знака имеем N = q Ω , где Ω — телесный угол, под которым видна поверхность S из точки, где находится заряд q . Если поверхность S замкнута, то Ω = 4 π при условии, что заряд q находится внутри S . В противном случае Ω = 0 . Чтобы пояснить последнее утверждение, можно вновь обратиться к рис. .

Очевидно, что потоки через сегменты замкнутой поверхности, опирающиеся на равные телесные углы, но обращенные в противоположные стороны, взаимно сокращаются. Очевидно также, что если заряд находится вне замкнутой поверхности, то любому сегменту, обращенному наружу, найдется соответствующий сегмент, обращенный внутрь.

3. Наконец, воспользовавшись принципом суперпозиции, приходим к итоговой формулировке теоремы Гаусса (). Действительно, поле системы зарядов равно сумме полей каждого заряда в отдельности, но в правую часть теоремы () дают ненулевой вклад только заряды, находящиеся внутри замкнутой поверхности. Этим завершается доказательство.

В макроскопических телах число носителей заряда столь велико, что дискретный ансамбль частиц удобно представить в виде непрерывного распределения, введя понятие плотности заряда. По определению, плотностью заряда ρ называется отношение Δ Q ∕ Δ V в пределе, когда объём Δ V стремится к физически бесконечно малой величине:

где интегрирование в правой части производится по объему V , замкнутому поверхностью S .

Теорема Гаусса даёт одно скалярное уравнение на три компоненты вектора E → , поэтому для расчета электрического поля одной этой теоремы недостаточно. Необходима известная симметрия распределения плотности зарядов, чтобы задача могла быть сведена к одному скалярному уравнению. Теорема Гаусса позволяет найти поле в тех случаях, когда поверхность интегрирования в () удается выбрать так, что напряженность электрического поля E постоянна на всей поверхности. Рассмотрим наиболее поучительные примеры.

▸ Задача 5.1

Найти поле шара, равномерно заряженного по объёму или поверхности.

Решение: Электрическое поле точечного заряда E → = q r → ∕ r 3 стремится к бесконечности при r → 0 . Этот факт показывает противоречивость представления элементарных частиц точечными зарядами. Если же заряд q равномерно распределен по объему шара конечного радиуса a , то электрическое поле не имеет особенностей.

Из симметрии задачи ясно, что электрическое поле E → всюду направлено радиально, а его напряженность E = E (r) зависит только от расстояния r до центра шара. Тогда поток электрического поля через сферу радиуса r просто равен 4 π r 2 E (рис. ).

С другой стороны, заряд внутри той же сферы равен полному заряду шара Q , если r ≥ a . Приравнивая 4 π r 2 E к умноженному на 4 π заряду шара q , получаем: E (r) = q ∕ r 2 .

Таким образом, во внешнем пространстве заряженный шар создает такое поле, как если бы весь заряд был сосредоточен в его центре. Этот результат справедлив при любом сферически симметричном распределении заряда.

Поле внутри шара равно E (r) = Q ∕ r 2 , где Q — заряд внутри серы радиуса r . Если заряд равномерно распределен по объему шара, то Q = q (r ∕ a) 3 . В этом случае

E (r) = q r ∕ a 3 = (4 π ∕ 3) ρ r ,

где ρ = q ∕ (4 π a 3 ∕ 3) — плотность заряда. Внутри шара поле линейно спадает от максимального значения на поверхности шара до нуля в его центре (рис. ).

Функция E (r) при этом всюду конечна и непрерывна.

Если заряд распределен по поверхности шара, то Q = 0 , а поэтому также E = 0 . Это результат также справедлив для случая, когда внутри сферической полости зарядов нет, а внешние заряды распределены сферически симметрично. ▸ Задача 5.2

Найти поле равномерно заряженной бесконечной нити; радиус нити a , заряд на единицу длины ϰ .

▸ Задача 5.3

Найти поле бесконечной прямой нити и бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра.

▸ Задача 5.4

Найти поле бесконечной заряженной плоскости и равномерно заряженного бесконечного плоского слоя.

Решение: Вследствие симметрии задачи поле направлено по нормали к слою и зависит только от расстояния x от плоскости симметрии пластины. Для вычисления поля с помощью теоремы Гаусса удобно выбрать поверхность интегрирования S в виде параллелипипеда, как показано на рис. .

Последний результат получается предельным переходом a → 0 при одновременном увеличении плотности заряда ρ так, чтобы величина σ = ρ a оставалась неизменной. По разные стороны от плоскости напряженность электрического поля одинакова по величине, но противоположна по направлению. Поэтому при переходе через заряженную плоскость поле скачком меняется на величину 4 π σ . Заметим, что пластина может считаться бесконечной, если расстояние от пренебрежимо мало по сравнению с её размерами. На расстояниях очень больших по сравнению с размерами пластины она действует, как точечный заряд, и её поле убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.

В ряде случаев теорема Гаусса позволяет найти напряженность электрического поля протяженных заряженных тел, не прибегая к вычислению громоздких интегралов. Обычно это относится к телам, чья геометрическая форма обладает определенными элементами симметрии (шар, цилиндр, плоскость). Рассмотрим некоторые примеры применения теоремы Гаусса для расчета напряженности электрических полей.

Пример 1 . Поле равномерно заряженной плоскости.

Электрическое поле, создаваемое бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскостью, является однородным – в каждой точке пространства вне плоскости его напряженность всюду одинакова. Направлено это поле перпендикулярно к плоскости в обе стороны (рис.2.5). Поэтому для потока вектора напряженности поля через произвольно выбранную цилиндрическую поверхность, опирающуюся на элемент плоскости ΔS, можем написать: , откуда , где - поверхностная плотность заряда. Размерность в СИ: .

Таким образом, искомая напряженность электрического поля равномернозаряженной плоскости .

Пример 2 . Поле равномерно заряженной нити (цилиндра).

В данном случае электрическое поле обладает аксиальной симметрией – не зависит от азимутального угла φ и координаты z и направлено вдоль радиус-вектора (рис.2.6). Поэтому для потока вектора через выбранную цилиндрическую поверхность с осью, совпадающей с заряженной нитью, имеем: , где - элемент цилиндрической поверхности; l – длина произвольного участка нити.

С другой стороны, по теореме Гаусса этот поток равен: причем , - линейная плотность заряда нити. Отсюда находим: .

Искомая напряженность электрического поля равномерно заряженной нити : .

Пример 3 . Поле равномерно заряженного шара.

а) Металлический шар . При равновесии заряды равномерно распределяются по внешней поверхности заряженного шара (рис.2.7). Поэтому при < (внутри шара) электрическое поле отсутствует: .

Вне шара ( > ) электрическое поле, созданное равномерно распределенными по его поверхности зарядами, обладает сферической симметрией (направлено по радиальным линиям), поэтому, согласно теореме Гаусса:

.

Видим, что электрическое поле равномерно заряженного металлического шара не зависит от радиуса шара и совпадает с полем точечного заряда .

б) Диэлектрический шар .

Принцип суперпозиции в сочетании с законом Кулона даёт ключ к вычислению электрического поля произвольной системы зарядов, но непосредственное суммирование полей по формуле (4.2) обычно требует сложных вычислений. Впрочем, при наличии той или иной симметрии системы зарядов вычисления существенно упрощаются, если ввести понятие потока электрического поля и использовать теорему Гаусса. Представления о потоке электрического поля привнесены в электродинамику из гидродинамики. В гидродинамике поток жидкости через трубу, то есть объём жидкости N , проходящий через сечение трубы в единицу времени, равен v ⋅ S , где v — скорость жидкости, а S — площадь сечения трубы. Если скорость жидкости изменяется по сечению, нужно использовать интегральную формулу N = ∫ S v → ⋅ d S → . Действительно, выделим в поле скоростей малую площадку d S , перпендикулярную к вектору скорости (рис. ). Рис. 1.4: Поток жидкости Объём жидкости, протекающий через эту площадку за время d t , равен v d S d t . Если площадка наклонена к потоку, то соответствующий объём будет v d S cos θ d t , где θ — угол между вектором скорости v → и нормалью n → к площадке d S . Объём жидкости, протекающий через площадку d S в единицу времени получается делением этой величины на d t . Он равен v d S cos θ d t , т.е. скалярному произведению v → ⋅ d S → вектора скорости v → на вектор элемента площади d S → = n → d S . Единичный вектор n → нормали к площадке d S можно провести в двух прямо противоположных направлениях. одно из них условно принимается за положительное. В этом направлении и проводится нормаль n → . Та сторона площадки, из которой выходит нормаль n → , называется внешней, а та, в которую нормаль n → входит, — внутренней. Вектор элемента площади d S → направлен по внешней нормали n → к поверхности, а по величине равен площади элемента d S = ∣ d S → ∣ . При вычислении объёма протекающей жидкости через площадку S конечных размеров, её надо развить на бесконечно малые площадки d S , а затем вычислить интеграл ∫ S v → ⋅ d S → по всей поверхности S . Выражения типа ∫ S v → ⋅ d S → встречаются во многих отраслях физики и математики. Они называются потоком вектора v → через поверхность S независимо от природы вектора v → . В электродинамике интеграл N = ∫ S E → ⋅ d S → (5.1) называют потоком напряженности электрического поля E → через произвольную поверхность S , хотя с этим понятием не связано никакое реальное течение. Допустим, что вектор E → представляется геометрической суммой E → = ∑ j E → j . Умножив это равенство скалярно на d S → и проинтегрировав, получим N = ∑ j N j . где N j — поток вектора E → j через ту же самую поверхность. Таким образом, из принципа суперпозиции напряженности электрического поля следует, что потоки через одну и ту же поверхность складываются алгебраически. Теорема Гаусса гласит, что поток вектора E → через произвольную замкнутую поверхность равен умноженному на 4 π суммарному заряду Q всех частиц, находящихся внутри этой поверхности:

Рассмотрим шар, с условной диэлектрической проницаемостью ε = 1, равномерно заряженный по объему с плотностью заряда (рис.2.8).

Размерность объемной плотности заряда в СИ: .

Полный заряд шара, очевидно, есть: .

Имеем по теореме Гаусса:

1) Внутри шара (r < R) : , где Δq = - заряд внутренней области шара, ограниченной выбранной сферической поверхностью радиуса r . Отсюда находим: .

2) Вне шара (r > R) : , откуда = ,

то есть вне заряженного диэлектрического шара электрическое поле такое же , как и в случае металлического шара.

На рис.2.9 показан качественный ход зависимостей E(r) для металлического и диэлектрического шаров.

металл Рис.2.9 . Зависимость E(r). диэлектрик

1.4 Теорема Гаусса. Вектор электрической индукции.

Теорема Гаусса.

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя теорему Гаусса, определяющую поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность .

Рассмотрим поток вектора напряженности через сферическую поверхность радиуса r , охватывающую точечный заряд q , находящийся в ее центре

Этот результат справедлив для любой замкнутой поверхности произвольной формы ,охватывающей заряд.

Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю ,так как число линий напряженности,входящих в поверхность,равно числу линий напряженности, выходящих из нее.

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов .Согласно принципу суперпозиции напряженностьполя ,создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей , создаваемых каждым зарядом в отдельности. Поэтому

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме :потоквектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленных на ε 0 .

В общем случае электрические заряды могут быть распределены с некоторой объемной плотностью , различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд объема V, охватываемого замкнутой поверхностью S равен и теорему Гаусса следует записать в виде .

Эта теорема представляет собой только следствие закона Кулона и принципа суперпозиции электрических полей. Вот её формулировка:

Поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме электрических зарядов, заключённых внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную  0 .

Доказательство теоремы начнём с простейшего случая: вычислим поток вектора напряжённости поля точечного заряда Q .

Напряжённость этого поля хорошо известна (см. 1.3)

Учитывая сферическую симметрию поля, выберем вначале в качестве гауссовой замкнутой поверхности сферу радиусом r , с центром в той точке, где находится зарядQ (рис. 2.5., 1). Поток вектора напряжённости через эту поверхность вычислить легко

Здесь мы учли, что:

Рис. 2.5.

Учитывая последнее замечание, запишем поток (2.7) в следующем виде:

(2.8)

Таким образом, для первого простейшего случая теорема Гаусса оказалась справедливой. Что из этого следует?

Полученный результат позволяет заключить, что найденный поток не зависит от радиуса гауссовой поверхности. Это легко понять: ведь с увеличением расстояния от заряда Q площадь поверхностирастёт пропорционально квадрату радиуса, а напряжённость поляубывает обратно пропорционально квадрату радиуса.

Вспомним, кроме того, что поток вектора напряжённости равен числу силовых линий, пронизывающих гауссову поверхность. Независимость потока от радиуса поверхности означает, что силовые линии поля точечного заряда, начинаясь на положительном заряде, простираются далее до бесконечности, не прерываясь. Отсюда - дальнейшие выводы.

Поток вектора напряжённости поля точечного заряда через любую замкнутую поверхность (рис. 2.5, 2),охватывающую точечный заряд Q , равен отношению

Этот вывод несомненен, так как поток равен прежнему неизменному числу силовых линий, пронизывающий замкнутую поверхность.

Поток вектора напряжённости, через произвольную замкнутую поверхность, не охватывающую электрический заряд, равен нулю (рис. 2.5, 3).

Этот вывод также легко понять, так как число силовых линий втекающих в гауссову поверхность, равно числу линий, покидающих её. Поэтому суммарный поток через эту поверхность равен нулю.

Теперь можно обратиться к рассмотрению общего случая: пусть произвольная замкнутая поверхность S охватываетN точечных зарядов (рис. 2.6.). Вычислим поток вектора напряжённости суммарного поля через эту поверхностьS, учтя, что в соответствии с принципом суперпозиции результирующее поле равно векторной сумме отдельных полей

Рис. 2.6.

Итак, воспользовавшись определением потока, вычислим его через произвольную замкнутую поверхность S .

(2.9)

Полученный результат является доказательством справедливости теоремы Гаусса: поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме через любую замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности .

Рассмотрим поле точечного заряда $q$, найдем поток вектора напряжённости ($\overrightarrow{E}$) через замкнутую поверхность $S$. Будем считать, что заряд находится внутри поверхности. Поток вектора напряженности через любую поверхность равен количеству линий вектора напряженности, которые выходят наружу (начинаются на заряде, если $q>0$) или количеству линий $\overrightarrow{E}$входящих внутрь, если $q \[Ф_E=\frac{q}{{\varepsilon }_0}\ \left(1\right),\]

где знак потока совпадает со знаком заряда.

Теорема Остроградского - Гаусса в интегральной форме

Допустим, что внутри поверхности S находится N точечных зарядов, величины $q_1,q_2,\dots q_N.$ Из принципа суперпозиции мы знаем, что результирующая напряженность поля всех N зарядов может быть найдена как сумма напряженностей полей, которые создаются каждым из зарядов, то есть:

Следовательно, для потока системы точечных зарядов можно записать:

Используем формулу (1), получаем, что:

\[Ф_E=\oint\limits_S{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\sum\limits^N_{i=1}{q_i\ }\left(4\right).\]

Уравнение (4) значит, что поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, которые находятся внутри данной поверхности, деленой на электрическую постоянную. Это теорема Остроградского - Гаусса в интегральной форме. Данная теорема является следствием закона Кулона. Значение данной теоремы заключается в том, что она позволяет довольно просто вычислять электрические поля при различных распределениях зарядов.

Как следствие теоремы Остроградского - Гаусса надо сказать, что поток вектора напряженности ($Ф_E$) через замкнутую поверхность в случае при котором заряды находятся вне данной поверхности, равен нулю.

В том случае, когда можно не учитывать дискретность зарядов используют понятие объемной плотности заряда ($\rho $), если заряд распределен по объему. Она определена как:

\[\rho =\frac{dq}{dV}\left(5\right),\]

где $dq$ - заряд, который можно считать точечным, $dV$ -- малый объем. (Относительно $dV$ необходимо сделать следующее замечание. Данный объем мал настолько, чтобы плотность заряда в нем можно было считать постоянной, но достаточно велик, чтобы не начала проявляться дискретность заряда). Суммарный заряд, который находится в полости, можно найти как:

\[\sum\limits^N_{i=1}{q_i\ }=\int\limits_V{\rho dV}\left(6\right).\]

В таком случае формулу (4) перепишем в виде:

\[\oint\limits_S{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{\rho dV}\left(7\right).\]

Теорема Остроградского - Гаусса в дифференциальной форме

Используя формулу Остроградского - Гаусса для любого поля векторной природы, с помощью которой осуществляется переход от интегрирования по замкнутой поверхности к интегрированию по объему:

\[\oint\limits_S{\overrightarrow{a}\overrightarrow{dS}=\int\nolimits_V{div}}\overrightarrow{a}dV\ \left(8\right),\]

где $\overrightarrow{a}-$вектор поля (в нашем случае это $\overrightarrow{E}$), $div\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\nabla }\overrightarrow{a}=\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}$ -- дивергенция вектора $\overrightarrow{a}$ в точке с координатами (x,y,z), которая отображает векторное поле на скалярное. $\overrightarrow{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial }{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{k}$ - оператор набла. (В нашем случае будет $div\overrightarrow{E}=\overrightarrow{\nabla }\overrightarrow{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}$) -- дивергенция вектора напряженности. Следуя вышесказанному, формулу (6) перепишем как:

\[\oint\limits_S{\overrightarrow{E}\overrightarrow{dS}=\int\nolimits_V{div}}\overrightarrow{E}dV=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{\rho dV}\left(9\right).\]

Равенства в уравнении (9) выполняются для любого объема, а это осуществимо только, если функции, которые находятся в подынтегральных выражениях, равны в каждой токе пространства, то есть мы можем записать, что:

Выражение (10) -- теорема Остроградского - Гаусса в дифференциальной форме. Трактовка ее такова: заряды являются источниками электрического поля. Если $div\overrightarrow{E}>0$, то в этих точках поля (заряды положительные) мы имеем источники поля, если $div\overrightarrow{E}

Задание: Заряд равномерно распределен по объему, в этом объеме выделена кубическая поверхность, со стороной b. Она вписана в сферу. Найдите отношение потоков вектора напряженности сквозь эти поверхности.

Согласно теореме Гаусса поток ($Ф_E$) вектора напряженности $\overrightarrow{E}$ через замкнутую поверхность при равномерном распределении заряда по объему равен:

\[Ф_E=\frac{1}{{\varepsilon }_0}Q=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{\rho dV=\frac{\rho }{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{dV}=\frac{\rho V}{{\varepsilon }_0}}\left(1.1\right).\]

Следовательно, нам необходимо определить объемы куба и шара, если шар описать вокруг этого куба. Для начала, объем куба ($V_k$) если сторона его b равен:

Найдем объем шара ($V_{sh}$) по формуле:

где $D$ -- диаметр шара и (так как шар описан вокруг куба), главная диагональ куба. Следовательно, нам необходимо выразить диагональ куба через его сторону. Это легко сделать, если использовать теорему Пифагора. Для вычисления диагонали куба, например, (1,5) нам сначала необходимо найти диагональ квадрата (нижнего основания куба) (1,6). Длина диагонали (1,6) равна:

В таком случает длина диагонали (1,5) равна:

\[{D=D}_{15}=\sqrt{b^2+{(\sqrt{b^2+b^2\ \ \ })}^2}=b\sqrt{3}\ \left(1.5\right).\]

Подставим в (1.3) найденный диаметр шара, получим:

Теперь мы можем найти потоки вектора напряженности через поверхность куба, она равна:

\[Ф_{Ek}=\frac{\rho V_k}{{\varepsilon }_0}=\frac{\rho b^3}{{\varepsilon }_0}\left(1.7\right),\]

через поверхность шара:

\[Ф_{Esh}=\frac{\rho V_{sh}}{{\varepsilon }_0}=\frac{\rho }{{\varepsilon }_0}\frac{\sqrt{3}}{2}\pi b^3\ \left(1.8\right).\]

Найдем отношение $\frac{Ф_{Esh}}{Ф_{Ek}}$:

\[\frac{Ф_{Esh}}{Ф_{Ek}}=\frac{\frac{с}{\varepsilon_0}\frac{\sqrt{3}}{2} \pi b^3}{\frac{сb^3}{\varepsilon_0}}=\frac{\pi}{2}\sqrt{3}\ \approx 2,7\left(1.9\right).\]

Ответ: Поток через поверхность шара в 2,7 раза больше.

Задание: Докажите, что заряд проводника располагается на его поверхности.

Используем для доказательства теорему Гаусса. Выделим в проводнике замкнутую поверхность произвольной формы около поверхности проводника (рис.2).

Допустим, что заряды внутри проводника есть, запишем с теорему Остроградского - Гаусса для дивергенции поля имеем для любой точки поверхности S:

где $\rho -плотность\ $внутреннего заряда. Однако поля внутри проводника нет, то есть $\overrightarrow{E}=0$, следовательно, $div\overrightarrow{E}=0\to \rho =0$. Теорема Остроградского - Гаусса в дифференциальной форме локальна, то есть, она записана для точки поля, мы специальным образом точку не выбирали, следовательно, плотность заряда равна нулю в любой точке поля внутри проводника.

Произведение напряженности электрического поля E и такой плоской площадки S, во всех точках которой напряженность поля одинакова и перпендикулярная к ней, составляет поток N вектора напряженности через площадку S;

N = ES (6)

Если вектор напряженности не перпендикулярен к площадке, то необходимо определять составляющую вектора напряженности перпендикулярную к площадке, которую называют нормальной составляющей (рис. 1):

N = E n S = (E*cosβ)S

При вычислении потока через произвольную поверхность площадью S в неоднородном поле эту поверхность следует разбить на малые плоские элементы dS в пределах каждого из которых напряженность поля можно считать одинаковой; поток через отдельную элементарную площадку

dN = E n dS

Поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность находится суммированием (интегрированием) элементарных потоков:

Единицу измерения потока вектора напряженности найдем из формулы (6):

[N] = = В/м *м 2 = В*м (8)

Рис.1 Нормальная составляющая вектора напряженности электрического поля, Рис.2 электрический заряд внутри сферической поверхности

В качестве примера найдем поток вектора напряженности поля точечного заряда Q, помещенного в центре сферической (шаровой) поверхности радиуса R (рис. 2).
Напряженность поля заряда Q одинакова во всех точках этой поверхности и согласно ()

Так как векторы напряженности перпендикулярны к сферической поверхности, то E n = E и проходящий через поверхность поток вектора напряженности поля

Как видно из (9), полученное для частного случая сферической поверхности выражение потока не зависит ни от формы поверхности, ни от места расположения заряда внутри нее. Поэтому формула (9) справедлива для замкнутой поверхности любой формы и произвольно расположенных внутри нее зарядов, суммарное значение которых равно Q.

Итак, поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность равен отношению сумм зарядов, расположенных внутри этой поверхности, к абсолютной диэлектрической проницаемости среды. Получена соотношение называют теоремой Гаусса.

Наглядно поток изображают электрическими линиями, так чтобы вектор напряженности поля в любой точке был касательным к электрической линии, проведенной через
эту точку. Электрические линия поля неподвижных зарядов начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Число линий, пересекающих данную площадку, выбирают пропорциональным значению потока N через эту площадку. На показан электрические линии точечного заряда + Q 1 .

Электрическое поле неподвижных зарядов называют электростатическим.

 

---

Читайте:
Поминальные дни после похорон (видео) Как запечь буженину в духовке в фольге Аллергическая сыпь у детей фото и описание Налоговый вычет для пенсионеров Игорь Сечин: биография и личная жизнь