, [−5π/2; −3π/2],. . . - одним словом, на всех отрезках [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk], где k Z, и убывает на всех отрезках

[π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], где n Z.

Задача 11.6. На каких отрезках возрастает и на каких убывает функция y = cos x?

Задача 11.8. Расположите в порядке возрастания: sin 1, cos 2, sin 3, cos 4, sin 5, cos 6.

§ 12. Графики тангенса и котангенса

Построим график функции y = tg x. Для начала построим его для чисел x, принадлежащих интервалу (−π/2; π/2).

Если x = 0, то tg x = 0; когда x возрастает от 0 до π/2, tg x тоже возрастает - это видно, если посмотреть на ось тангенсов (рис. 12.1 а). Когда x приближается к π/2, оставаясь меньше

Рис. 12.2. y = tg x.

π/2, значение tg x возрастает (точка M на рис. 12.1 а убегает все выше) и может, очевидно, стать сколь угодно большим положительным числом. Аналогично, когда x убывает от 0 до −π/2, tg x становится отрицательным числом, абсолютная величина которого возрастает при приближении x к −π/2. При x = π/2 или −π/2 функция tg x не определена. Стало быть, график y = tg x при x (−π/2; π/2) выглядит примерно как на рис. 12.1 б.

Вблизи начала координат наша кривая близка к прямой y = x x: ведь для малых острых углов верно приближенное равнество tg x ≈ x. Можно сказать, что прямая y = x касается графика функции y = tg x в начале координат. Кроме того, кривая на рис 12.1 б симметрична относительно начала координат. Это объясняется тем, что функция y = tg x нечетная, то есть выполнено тождество tg(−x) = − tg x.

Чтобы построить график функции y = tg x для всех x, вспомним, что tg x - периодическая функция с периодом π. Стало быть, чтобы получить полный график функции y = tg x, надо повторить бесконечно много раз кривую рис. 12.1 б, перенося ее вдоль оси абсцисс на расстояния πn, где n - целое число. Окончательный вид графика функции y = tg x - на рис. 12.2 .

По графику мы в очередной раз видим, что функция y = tg x

Рис. 12.3. y = ctg x.

не определена при x = π/2 + πn, n Z, то есть при тех x, при которых cos x = 0. Вертикальные прямые с уравнениями x = π/2, 3π/2,. . . , к которым приближаются ветви графика, называются асимптотами графика.

На том же рис. 12.2 мы изобразили решения уравнения tg x = a.

Построим график функции y = ctg x. Проще всего, воспользовавшись формулой приведения ctg x = tg(π/2 − x), получить этот график из графика функции y = tg x с помощью преобразований наподобие тех, что мы описывали в предыдущем параграфе. Результат - на рис. 12.3

Задача 12.1. График функции y = ctg x получается из графика функции y = tg x с помощью симметрии относительно некоторой прямой. Какой именно? Есть ли другие прямые с указанным свойством?

Задача 12.2. Как выглядит уравнение прямой, касающейся графика функции y = ctg x в точке с координатами (π/2; 0)?

Задача 12.3. Сравните числа: а) tg(13π/11) и tg 3,3π; б) tg 9,6π и ctg(−11,3π).

Задача 12.4. Расположите числа в порядке возрастания: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.

Задача 12.5. Постройте графики функций:

Задача 12.7. Постройте график функции y = arctg x + arctg(1/x).

§ 13. Чему равно sin x + cos x?

В этом параграфе мы попытаемся решить такую задачу: какое самое большое значение может принимать выражение sin x+cos x?

Если вы правильно считали, у вас должно было выйти, что из всех x, входящих в эту таблицу, наибольшее значение sin x + cos x

получается при x, близких к 45◦ , или, в радианной мере, к π/4.

Если x = π/4, точное значение sin x+cos x равно 2. Оказывается, что наш результат, полученный экспериментальным путем, и в

самом деле верен: при всех x верно неравенство sin x + cos x 6

2, так что 2 - самое большое из значений, принимаемых этим выражением.

У нас еще не хватает средств, чтобы доказать это неравенство наиболее естественным способом. Пока что мы покажем, как свести его к задаче по планиметрии.

Если 0 < x < π/2, то sin x и cos x - катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и острым углом x (рис. 13.1 ).

Поэтому наша задача переформулируется так: доказать, что сумма длин катетов прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 будет максимальной, если этот треугольник - равнобедренный.

Задача 13.1. Докажите это утверждение.

Так как у равнобедренного прямоугольного треугольника с ги-

потенузой 1 сумма длин катетов равна 2√ , из результата этой задачи вытекает неравенство sin x + cos x 6 2 для всех x, лежащих в интервале (0; π/2). Отсюда уже нетрудно заключить, что это неравенство выполнено и вообще для всех x.

Результат задачи 13.1 верен не только для прямоугольных треугольников.

Задача 13.2. Докажите, что среди всех треугольников с данными величинами стороны AC и угла B наибольшая сумма AB + BC будет у равнобедренного треугольника с основанием AC.

Вернемся к тригонометрии.

Задача 13.3. Пользуясь таблицей синусов из § 3, постройте по точкам график функции y = sin x + cos x.

Указание. Не забудьте, что x должен быть выражен в радианах; для значений x за пределами отрезка воспользуйтесь формулами приведения.

Если вы все сделали правильно, у вас должна была получиться кривая, похожая на синусоиду. Позже мы увидим, что эта кривая не просто похожа, а является синусоидой. Научимся мы также находить и наибольшие значения таких выражений, как 3 sin x + 4 cos x (кстати, график функции y = 3 sin x + 4 cos x тоже является синусоидой!).

В этом видеуроке рассмотрены свойства функций у = tg x, y = ctg x , показано, как построить их графики.

Видеоурок начинается с рассмотрения функции у = tg x .

Выделены свойства функции.

1) Областью определения функции у = tg x называются все действительные числа, за исключением х = π/2 + 2 πk. Т.е. на графике нет точек, которые принадлежат прямой х = π/2 и х = - π/2, а также х = 3π/2 и так далее (с той же периодичностью). Значит, график функции у = tg x будет состоять из бесконечного множества ветвей, которые будут находиться в промежутках между прямыми х = - 3π/2 и х = - π/2 , х = - π/2 и х = π/2 и так далее.

2) Функция у = tg x является периодической, где основной период равенπ. Это подтверждает равенство tg (x - π) = tg x = tg (x + π) . Эти равенства изучались ранее, автор предлагает ученикам вспомнить их, указывая, что для любого допустимого значения t справедливы равенства:

tg (t + π) = tg t , и ctg (t + π) = ctg t . Следствием этих равенств является то, что, если построена одна ветвь графика функции у = tgx в промежутке между прямыми х = - π/2 и х = π/2 , то остальные ветви можно получить путем сдвига этой ветви по оси х на π, 2π и так далее.

3) Функция у = tg x является нечетной, т.к. tg (- x) = - tg x .

Далее перейдем к построению графика функции у = tg x . Как следует из свойств функции, описанных выше, функция у = tg x периодическая и нечетная. Поэтому достаточно построить часть графика - одну ветвь в одном промежутке, а затем воспользоваться симметрией для переноса. Автор приводит таблицу, в которой рассчитываются значения tg x при определенных значениях x для более точного построения графика. Данные точки отмечаются на оси координат и соединяются плавной линией. Т.к. график симметричен относительно начала координат, то строится такая же ветвь, симметричная началу координат. В результате получаем одну ветвь графика у = tg x . Далее с помощью сдвига по оси х наπ, 2 πи так далее получается график у = tg x .

График функции у = tg x называется тангенсоида, а три ветви графика, показанные на рисунке - главные ветви тангенсоиды.

4) Функция у = tg x на каждом из промежутков (- + ; +) возрастает.

5) График функции у = tg x не имеет ограничений сверху и снизу.

6) Функция у = tg x не имеет наибольшего и наименьшего значения.

7) Функция у = tg x непрерывна на любом промежутке (-- π/2+π;π/2+π). Прямая π/2+π называется асимптотой графика функции у = tg x , т.к. в этих точках график функции прерывается.

8) Множеством значений функции у = tg x называются все действительные числа.

Далее в видеоуроке дается пример: решить уравнение с tg x . Для решения построим 2 графика функции у и найдем точки пересечения этих графиков: это бесконечное множество точек, абсциссы которых отличаются на πk. Корнем данного уравнения будет х = π/6 +πk.

Рассмотрим график функции у = ctg x . График функции можно построить двумя способами.

Первый способ предполагает построение графика аналогично построению графика функции у = tg x . Построим одну ветвь графика функции у = с tg x в промежутке между прямыми х = 0и х = π. Затем с помощью симметрии и периодичности построим другие ветви графика.

Второй способ более простой. График функции у = сtgx можно получить путем преобразования тангенсоиды с помощью формулы приведения с tgx = - tg (x + π/2). Для этого сдвинем одну ветвь графика функции у = tgx вдоль оси абсцисс на π/2вправо. Остальные ветви получаем путем сдвига этой ветви по оси х наπ, 2π и так далее. График функции у = ctgx называется также тангенсоида, а ветвь графика в промежутке (0;π) - главная ветвь тангенсоиды.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Мы рассмотрим свойства функции у = tg x (игрек равно тангенс икс), у = ctg x(игрек равно котангенс икс), построим их графики. Рассмотрим функцию y = tgx

Прежде, чем строить график функции у = tg x, запишем свойства этой функции.

СВОЙСТВО 1. Областью определения функции у = tg x являются все действительные числа, кроме чисел вида х = + πk (икс равен сумме пи на два и пи ка).

Это значит, что на графике этой функции нет точек, которые принадлежат прямой х = (получаем, если k= 0 ка равно нулю) и прямой х = (икс равно минус пи на два) (получаем, если k= - 1 ка равно минус одному), и прямой х = (икс равно три пи на два) (получаем, если k= 1 ка равно одному) и т. д. Значит график функции у = tg x будет состоять из бесконечного множества ветвей, которые будут находиться в промежутках между прямыми. А именно в полосе между х = и х =- ; в полосе х =- и х = ; в полосе х = и х = и так до бесконечности.

СВОЙСТВО 2. Функция у = tg x является периодической с основным периодом π. (Так как справедливо двойное равенство

tg(x- π) = tgx = tg (x+π) тангенс от икс минус пи равен тангенсу икс и равен тангенсу от икс плюс пи). Это равенство мы рассматривали при изучении тангенса и котангенса. Напомним его:

Для любого допустимого значения t справедливы равенства:

tg (t + π)= tgt

ctg (t + π) = ctgt

Из этого равенства следует, что, построив ветвь графика функции у = tg x в промежутке от х =- и х = , мы получим остальные ветви путем сдвига построенной ветви по оси Х на π, 2π, и так далее.

СВОЙСТВО 3. Функция у = tg x является нечетной функцией, так как справедливо равенство tg (- x) = - tg x.

Построим график функции у = tg x

Так как эта функция периодическая, состоит из бесконечного множества ветвей (в полосе между х = и х = , а также в полосе между х = и х = и т.д.) и нечетная, то построим по точкам часть графика на промежутке от нуля до пи на два (), затем воспользуемся симметрией начала координат и периодичностью.

Построим таблицу значений тангенса для построения графика.

Находим первую точку: зная, что при х = 0 tg x = 0(икс равном нулю тангенс икс тоже равен нулю); следующая точка: при х = tg x = (икс равном пи на шесть тангенс икс равен корень из трех на три); отметим следующие точки: при х = tg x = 1 (икс равном пи на четыре тангенс икс равен единице), а при х = tg x = (икс равном пи на три тангенс икс равен корню квадратному из трех). Отметив полученные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией (рис. 2).

Так как график функции симметричен относительно начала координат, то построим такую же ветвь симметрично начала координат. (рис.3).

И, наконец, применив периодичность, получим график функции у = tg x.

Мы построили ветвь графика функции у = tg x в полосе от х =- и х = . Строим остальные ветви путем сдвига построенной ветви по оси Х на π, 2π, и так далее.

Построенный график называется тангенсоида.

Изображенную на рисунке 3 часть тангенсоиды называют главной ветвью тангенсоиды.

На основании графика запишем еще свойства этой функции.

СВОЙСТВО 4. Функция у = tg x возрастает на каждом из промежутков (от минус пи на два плюс пи ка до пи на два плюс пи ка).

СВОЙСТВО 5. Функция у = tg x не ограничена ни сверху, ни снизу.

СВОЙСТВО 6. Функция у = tg x не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

СВОЙСТВО 7. Функция у = tg x непрерывна на любом интервале вида (от минус пи на два плюс пи ка до пи на два плюс пи ка).

Прямая вида х = + πk (икс равно сумме пи на два и пи ка) является вертикальной асимптотой графика функции, так как в точках вида х = + πk функция терпит разрыв.

СВОЙСТВО 8. Множеством значений функции у = tg x являются все действительные числа, то есть (е от эф равно промежутку от минус бесконечности до плюс бесконечности).

ПРИМЕР 1. Решить уравнение tg x = (тангенс икс равен корень из трех на три).

Решение. Построим в одной системе координат графики функций у = tg x

(игрек равен тангенсу икс) и у = (игрек равен корню из трех, деленному на три).

Получили бесконечно много точек пересечения, абсциссы которых отличаются друг от друга на πk (пи ка).Так как tg x = при х = , то абсцисса точки пересечения на главной ветви равна (пи на шесть).

Все решения данного уравнения запишем формулой х = + πk (икс равно пи на шесть плюс пи ка).

Ответ: х = + πk.

Построим график функции у = сtg x.

Рассмотрим два способа построения.

Первый способ аналогичен построению графика функции у = tg x.

Так как эта функция периодическая, состоит из бесконечного множества ветвей (в полосе между х = 0 и х =π , а также в полосе между х =π и х = 2π и т.д.) и нечетная, то построим по точкам часть графика на промежутке от нуля до пи на два (), затем воспользуемся симметрией и периодичностью.

Воспользуемся таблицей значений котангенса для построения графика.

Отметив полученные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

Так как график функции симметричен относительно, то построим такую же ветвь симметрично.

Применим периодичность, получим график функции у = сtg x.

Мы построили ветвь графика функции у = сtg x в полосе от х = 0 и х =π. Строим остальные ветви путем сдвига построенной ветви по оси x на π, - π, 2π, - 2π и так далее.

Второй способ построения графика функции у =сtg x.

Получить график функции у =сtg x проще всего с помощью преобразования тангенсоиды, используя формулу приведения (котангенс икс равно минус тангенс от суммы икс и пи на два).

При этом сначала, сдвинем ветвь графика функции у =tg x вдоль оси абсцисс на вправо, получим

у = tg (x+), а затем выполняем симметрию полученного графика относительно оси абсцисс. В результате получится ветвь графика функции у =сtg x (рис.4). Зная одну ветвь, можем построить весь график используя периодичность функции. Строим остальные ветви путем сдвига построенной ветви по оси x на π, 2π, и так далее.

График функции у =сtg x называется тоже тангенсоида, как и график функции у =tg x. Ветвь, которая заключена в промежутке от нуля до пи, называют главной ветвью графика функции у =сtg x.

С центром в точке A .
α - угол, выраженный в радианах.

Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .

Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .

Тангенс

Где n - целое.

В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.

График функции тангенс, y = tg x

Котангенс

Где n - целое.

В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.

График функции котангенс, y = ctg x

Свойства тангенса и котангенса

Периодичность

Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .

Четность

Функции тангенс и котангенс - нечетные.

Области определения и значений, возрастание, убывание

Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).

Формулы

Выражения через синус и косинус

; ;
; ;
;

Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности

Остальные формулы легко получить, например

Произведение тангенсов

Формула суммы и разности тангенсов

В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

;
;

Производные

; .

.
Производная n-го порядка по переменной x от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >

Интегралы

Разложения в ряды

Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.

При .

при .
где B n - числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа:

Обратные функции

Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.

Арктангенс, arctg

, где n - целое.

Арккотангенс, arcctg

, где n - целое.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.